تمرین ۶ رسم نمودار و حل معادله قدر مطلقی حسابان یازدهم
نمودار تابع $f(x) = | |x| - ۲ |$ را رسم کنید، سپس معادله $f(x) = ۱$ را، هم به روش هندسی و هم به روش جبری، حل نمایید.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۲۸ حسابان یازدهم
سلام! این تمرین شامل یک تابع با **چندین قدر مطلق تودرتو** است. برای رسم نمودار و حل معادله، ابتدا باید تابع را مرحله به مرحله رسم و سپس به روش جبری و هندسی حل کنیم.
---
### الف) رسم نمودار تابع $\mathbf{f(x) = | |x| - ۲ |}$
از رسم نمودار به صورت **مرحله به مرحله** استفاده میکنیم:
1. **رسم $y = x$**: خط اصلی با شیب ۱.
2. **رسم $y = |x|$**: قرینه کردن قسمت $x < ۰$ نسبت به محور $y$ (نمودار 'V' شکل، رأس در $(۰, ۰)$).
3. **رسم $y = |x| - ۲$**: نمودار مرحله قبل را **دو واحد به پایین** منتقل میکنیم. رأس از $(۰, ۰)$ به $(۰, -۲)$ منتقل میشود. ریشهها در $x=\pm ۲$ به دست میآیند.
4. **رسم $y = | |x| - ۲ |$**: قدر مطلق نهایی، قسمتهای پایین محور $x$ (بازه $-۲ < x < ۲$) را نسبت به محور $x$ **قرینه** میکند. رأسها در $\mathbf{(-۲, ۰)}$, $\mathbf{(۲, ۰)}$ و یک رأس ماکزیمم در $\mathbf{(۰, ۲)}$ خواهیم داشت. نمودار شبیه یک حرف 'W' است.
---
### ب) حل معادله $\mathbf{| |x| - ۲ | = ۱}$
**۱. روش جبری (حذف قدر مطلق از خارج به داخل)**
معادله $|A| = ۱ \implies A = ۱ \quad \text{یا} \quad A = -۱$.
* **حالت ۱:** $|x| - ۲ = ۱ \implies |x| = ۳ mplies \mathbf{x = \pm ۳}$
* **حالت ۲:** $|x| - ۲ = -۱ \implies |x| = ۱ mplies \mathbf{x = \pm ۱}$
**جوابهای جبری**: $\mathbf{-۳, -۱, ۱, ۳}$
**۲. روش هندسی**
جوابهای معادله، نقاط تلاقی نمودار $y = | |x| - ۲ |$ و خط افقی $\mathbf{y=۱}$ هستند.
* خط $y=۱$ را روی نمودار رسم میکنیم (در ارتفاع $y=۱$).
* مشاهده میکنیم که خط $y=۱$ نمودار 'W' شکل ما را در **چهار نقطه** قطع میکند.
* **طول این نقاط**: $x=-۳, x=-۱, x=۱, x=۳$ (که با جوابهای جبری مطابقت دارند).
**نتیجه**: این معادله $\mathbf{۴}$ جواب دارد: $\mathbf{-۳, -۱, ۱, ۳}$.
تمرین ۷ رسم نمودار و حل معادله قدر مطلقی حسابان یازدهم
نمودار تابع $f(x) = |x^۲ - ۲x|$ را رسم کنید، سپس به دو روش هندسی و جبری معادله $f(x) = ۲$ را حل نمایید.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۲۸ حسابان یازدهم
این تمرین به شما کمک میکند تا همزمان مهارتهای رسم نمودار قدر مطلقی و حل معادله متناظر را تمرین کنید.
---
### الف) رسم نمودار تابع $\mathbf{f(x) = |x^۲ - ۲x|}$
1. **نمودار اصلی ($y = x^۲ - ۲x$)**: یک سهمی رو به بالا است.
* **ریشهها**: $x(x - ۲) = ۰ \implies x=۰$ و $x=۲$.
* **رأس سهمی**: $x_s = \frac{۰+۲}{۲} = ۱$. $y_s = ۱^۲ - ۲(۱) = -۱$. رأس در $(۱, -۱)$.
2. **اعمال قدر مطلق**: قسمت پایین محور $x$ (بازه $۰ < x < ۲$) را نسبت به محور $x$ **قرینه** میکنیم. رأس از $(۱, -۱)$ به $\mathbf{(۱, ۱)}$ منتقل میشود.
---
### ب) حل معادله $\mathbf{|x^۲ - ۲x| = ۲}$
**۱. روش هندسی**
جوابهای معادله، نقاط تلاقی نمودار $y = |x^۲ - ۲x|$ و خط افقی $\mathbf{y=۲}$ هستند.
* خط $y=۲$ را رسم میکنیم.
* نمودار سهمی از $(۰, ۰)$ بالا میرود، در $(۱, ۱)$ ماکزیمم میشود و سپس در $(۲, ۰)$ دوباره به صفر میرسد و مجدداً بالا میرود.
* مشاهده میکنیم که خط افقی $y=۲$ نمودار را در **چهار نقطه** قطع میکند. پس **۴ جواب** داریم.
**۲. روش جبری**
از ویژگی $|A|=c \implies A = c \quad \text{یا} \quad A = -c$ استفاده میکنیم.
* **حالت ۱: $x^۲ - ۲x = ۲$**
$$x^۲ - ۲x - ۲ = ۰$$
$$\Delta = (-۲)^۲ - ۴(۱)(-۲) = ۴ + ۸ = ۱۲$$
$$\mathbf{x_{۱,۲} = \frac{۲ \pm \sqrt{۱۲}}{۲} = \frac{۲ \pm ۲\sqrt{۳}}{۲} = ۱ \pm \sqrt{۳}}$$
* **حالت ۲: $x^۲ - ۲x = -۲$**
$$x^۲ - ۲x + ۲ = ۰$$
$$\Delta = (-۲)^۲ - ۴(۱)(۲) = ۴ - ۸ = -۴$$
چون $\Delta < ۰$ است، این حالت **ریشه حقیقی ندارد**.
**جواب معادله**: $\mathbf{۱ + \sqrt{۳}}$ و $\mathbf{۱ - \sqrt{۳}}$
**بررسی نتیجه هندسی و جبری**: در روش هندسی، به درستی ۴ محل تقاطع را نشان دادیم. اما در روش جبری، فقط دو ریشه واقعی به دست آمد. علت این است که در **روش هندسی**، ما به اشتباه نقاط تلاقی را در بازه $۰ < x < ۲$ هم شمردیم. در این بازه، $x^۲-۲x$ منفی است و به صورت قرینه شده درآمده، که معادله $\mathbf{-(x^۲ - ۲x) = ۲}$ یا $x^۲ - ۲x = -۲$ را میدهد که دیدیم جواب ندارد. تنها دو نقطه تلاقی واقعی، در خارج از این بازه هستند (جایی که $|x^۲-۲x|=x^۲-۲x$ است).
**نتیجه اصلاح شده**: معادله $\mathbf{۲}$ جواب دارد: $\mathbf{۱ + \sqrt{۳}, ۱ - \sqrt{۳}}$.
